Hier ist also eine parallele zur x-Achse bzw. Differenzierbare Funktion: f: D f-> R mit Funktionsterm y = f(x), D f als maximale Definitionsmenge (als R [bei ganz rationalen Funktionen, trigonometrischen Funktionen, Exponentialfunktionen] bzw. Soll eine Gruppenarbeit durchgef˜uhrt werden, so gilt nachfolgender Arbeits-auftrag. Bestimme den maximalen Definitionsbereich und bilde die erste Ableitung: a) f(x) = x2 2 Seite 2 von 11 Gebrochen-rationale Funktionen < < > > Definitionsbereich, Definitionslücken und Nullstellen Jede gebrochen-rationale Funktion ist in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig. Übungsaufgaben zu gebrochen rationalen Funktionen 1. Die Isoquante (gebrochen rationale Funktion) ( )= − + zeigt die Kombination von und , die erzeugt, während die Isokostengerade ( )= + = × + × die Kosten () sichtbar macht. 2. Gegeben sei die folgende, gebrochen rationale Funktion: f(x) = x3 x2 ¡1 Untersuchen Sie diese Funktion unter Abarbeitung der auf Seite 1 aufgef˜uhrten Diskussionspunkte. a) 2 f(x) 2x 3 b) 2x g(x) x1 c) 2 h(x) x (x 2) k(x) d) 2 3 x 2. Der "gekürzte"Term muss dann erneut auf eine Definitionslücke an der Stelle untersucht werden. Eine Funktion, die durch den Quotienten zweier Polynome gebildet wird, bezeichnen wir als gebrochen-rationale Funktion. Bei einer gebrochen-rationalen Funktion gehören nur die reellen Zahlen zum Definitionsbereich, für die die Nennerfunktion h(x) verschieden von Null ist. Übungsaufgaben zu Kurvendiskussion von gebrochenrationalen Funktionen Diskutieren Sie folgende gebrochenrationale Funktionen hinsichtlich des Definitions- und Diskutieren Sie die Funktion vollständig. † Arbeitsaufteilung f˜ur die Gruppen: { Gruppe 1: Bestimmung von Dmax Kurvendiskussion: gebrochen-rationale Funktionen n n n n z z m z z x b x a z x b x a Nennerpolynom Zählerpolynom f(x) ⋅ + + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + = = K K 1. Gegeben ist die gebrochen rationale Funktion … ohne Stellen mit negativen Radi-kanden [bei Quadratwurzeln] usw.) Falls weiterhin Zähler- und Nennernullstelle ist, muss noch einmal der Term gekürzt werden. ohne Nenner-nullstellen bei Bruchtermen [von gebrochen rationalen Funktionen] bzw. Eine Gebrochen Rationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch darstellen l asst: f(x) = Z(x) N(x) Hierbei sind sowohl die Z ahlerfunktion Z(x) als auch die Nennerfunktion N(x) ein Polynom. gekürzt werden. Typ höchster Exponent = Grad der Funktion - Wie verhalten sich Zähler- und Nennergrad zueinander? Ein Polynom ist eine Funktion, die in folgender Form darstellen l asst: p(x) = Xn i=0 a ix i … Dies wird so lange durchgeführt, bis keine Zähler- oder Nennernullstelle mehr ist. Mathematischer Ansatz Wenn … Seite 2 von 11 Gebrochen-rationale Funktionen > > Definitionsbereich, Definitionslücken und Nullstellen Jede gebrochen-rationale Funktion ist in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig. De nition 3.1.1 (Gebrochen-rationale Funktion). Aufgabe 5 Bestimme die Asymptotengleichung der Funktion: x 2 x 6 f(x) 2 Lösung: Übung: Kurvendiskussion gebrochen-rationaler Funktionen (3) (3) Sei die Funktion f c x( ), 8c 3 x 2 c 2 +:= mit dem reellen Parameter c 0≠ gegeben. die Funktion a(x) = 4/2 = 2 die Asymptote, denn 2 2 0 4 2 1/x 4 lim x (2 1/ x ) x 4 lim 2x 1 4x lim f(x) lim 2 2 x 2 2 2 x 2 x x und analog gilt lim f(x) 2 x .
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